Votación por mayoría. El caso de dos posibilidades

Dados los problemas asociados a las reglas de unanimidad, veamos que sucede en el caso más simple del MMD donde un número finito de personas con preferencias bien definidas debe decidir entre dos estados sociales e . En este caso simple no habrán problemas de incompletitud ni de intransitividad (ya que solo hay dos opciones).

La regla de votación por mayoría para este caso sería:

donde para todo dentro de , es el número de personas para quienes

Se puede demostrar fácilmente que éste sistema es Pareto-inclusivo. Además, cumple con otras propiedades deseables que se definen a continuación: anonimato, neutralidad y positively responsiveness.

(1) Anonimato (A): implica que las preferencias sociales permanezcan invariantes ante permutaciones de las preferencias individuales. Es decir, lo que importan son ‘los votos', no ‘quién los emite'. Formalmente, si es un reordenamiento de los componentes de , el anonimato se cumple si y solo si

(2) Neutralidad (N): implica que si dos pares de alternativas en dos casos distintos poseen la misma relación en las preferencias individuales, entonces deben poseer la misma relación en las preferencias sociales. Es decir, se deben tratar de forma similar a todas las alternativas. Ésta condición excluye la posibilidad de que, por ejemplo, para ciertas votaciones se requieran mayorías especiales. Formalmente, si entonces y sólo entonces se cumple la condición de neutralidad.

(3) Positive Responsiveness (S): implica que si las preferencias de algún individuo cambian, digamos, en favor de la opción respecto de la , mientras permanecen las preferencias de los demás individuos invariantes, entonces la regla social debe tomar nota de dicho cambio en favor de , y en caso de que , ahora deberá ser . Formalmente, si

entonces y sólo entonces se cumple la condición S.

Estas tres condiciones que cumple el MMD poseen virtudes intrínsecas a la vista. No se discrimina al votante, el sistema no favorece ciertas alternativas sobre otras y la regla de decisión colectiva se adapta a los cambios de preferencias de los individuos. A su vez se puede demostrar que el MMD es la única CCR que cumple con estas (atractivas) condiciones para cualquier configuración de preferencias individuales (U)

La demostración consiste en probar que una CCR que cumpla con dichas condiciones es inequívocamente un MMD (teorema de May)

Primero se establece que la condición N implica la independencia de alternativas irrelevantes (I) , por lo que la relación de preferencia entre dos elementos surge de observar únicamente las preferencias individuales entre dichos elementos. Luego se establece que dada la condición A, la preferencia social dependerá únicamente del número de individuos que prefieran a , a , o que sean indiferentes. A su vez la condición N implica que si (si así no lo fuera la condición N no se cumpliría, ya que la permutación de por e por en el orden de preferencia individual cambiará el resultado de la votación). Dado que para , entonces por la condición S, . Eso no es otra cosa que el MMD, que era lo que se quería probar.

En definitiva, si queremos que se cumplan estas condiciones debemos seleccionar indefectiblemente el MMD. Más adelante se verá que estas condiciones, aunque atractivas, pueden resultar demasiado exigentes para que una CCR respete otras condiciones, particularmente aquellas asociadas con la racionalidad de las preferencias.

La condición (U) se refiere a lo denominado por Sen como ‘Unrestricted Domain', en español significa ‘Dominio Irrestricto'

Más adelante se definirá formalmente la condición (I). La demostración de que N à I se desprende de la definición formal de N. Si ponemos x=z e y=w se obtiene que la relación de preferencia depende sólo de los dos elementos en cuestión.