Teorema de Imposibilidad General de Arrow

Hemos visto que de solicitarle a una CCR que cumpla con las condiciones S, N, A para cualquier espectro de preferencias individuales (U), dicha regla es un MMD. Además se ha mostrado que el MMD puede producir resultados intransitivos, lo cual parece poco satisfactorio. Si queremos que las preferencias sociales se construyan en base a cualquier tipo de preferencias individuales y sean transitivas, entonces debemos imponer condiciones menos exigentes que la neutralidad (N), anonimato (A) y positive responsiveness (S). Arrow plantea otro tipo de condiciones, que se definirán a continuación, y demuestra que no existe ninguna CCR que especifique ordenamientos (condición O), es decir, que sea reflexiva, transitiva y completa y que cumpla con dichas mínimas condiciones. Una CCR que cumpla con la condición O (que sea un ordenamiento) se denomina Función de Bienestar Social (SWF) en el sentido de Arrow .

Antes de definir las condiciones es necesario definir un par de conceptos, como el conjunto de elección (choice set) y la función de elección (choice function) :

Un elemento del conjunto S es el mejor elemento de S respecto a una relación de preferencia débil R si y solo si para todo perteneciente a S,

El conjunto de los mejores elementos de S se denomina choice set (conjunto de elección), y se nota como . En base a la definición de choice set podemos definir una choice function (función de elección): una choice function definida sobre X es una relación funcional tal que el conjunto de elección sea no vacío para cada subconjunto S no vacío de X.

Reformulando, decir que existe una función de elección definida para X es equivalente a decir que existe un ‘mejor elemento' en cada subconjunto (no vacío) de X.

Ahora ya estamos en posición de definir las condiciones que impone Arrow. Éstas son:

Condición U (dominio irrestricto) : aquí no se efectúan cambios. A riesgo de ser reiterativo, vuelvo a definir esta condición, que exige que el dominio de la CCR debe incluir todas las combinaciones lógicamente posibles de las preferencias individuales.

Condición P (Pareto-inclusiva débil) : para cualquier par . Obsérvese que esta condición es una versión débil de la condición S (positive responsiveness) y que además el principio de Pareto invocado aquí asume una forma más débil que el antes definido al exigir únicamente que la regla social no vaya contra la unanimidad.

Condición I (Independencia de alternativas irrelevantes) : sean las relaciones binarias sociales determinadas por la CCR que corresponden a dos conjuntos de preferencias individuales, y . Se cumple I si para todo par en un subconjunto para todo , entonces y son iguales. Como se menciono anteriormente, esta condición está implicada por la condición N (neutralidad).

Condición D (No Dictadura) : No existe ningún individuo tal que para todo elemento en el dominio de la CCR, . Esta condición es una versión debilitada de la condición A (anonimato).

Definidas las condiciones, establecemos que hay al menos dos personas en la sociedad (o dos configuraciones de preferencias distintas) y al menos tres alternativas sociales. Claramente no existen problemas de agregación en una sociedad de menos de dos personas y no hay intransitividades cuando las opciones son menos que tres. A continuación se demostrará el teorema de imposibilidad, siguiendo la versión de Sen (1970), el cual postula que no existe ninguna SWF que satisfaga las condiciones U, I, P, y D. La demostración consta de dos partes. En la primera se muestra que un individuo que es semi-decisivo para un par de alternativas lo es para todo par. Luego se muestra que siempre hay un individuo semi-decisivo, y que de no haberlo se llega a una contradicción lógica. De ésta forma se completa la demostración.

Primeramente se definirá que significa ser decisivo y semi-decisivo.

Semi-decisivo (almost decisive) : un conjunto de individuos V es semi-decisivo para sobre , , si cuando para todo dentro de V, y a su vez para todo que no está dentro de V. Es decir, se es semi-decisivo cuando se imponen las preferencias propias en presencia de oposición.

Decisivo (decisive) : un conjunto de individuos V es decisivo para sobre , , si cuando para todo dentro de V. Es decir, se es decisivo cuando se imponen las preferencias propias independientemente de lo que prefiera el resto.

Lógicamente hablando, y en contra del instinto, ser decisivo implica ser semi-decisivo, , pero la recíproca no es cierta, por lo que ser decisivo es más fuerte que ser semi-decisivo.

A continuación se probará la siguiente proposición: ‘ si hay un individuo J que es semi-decisivo sobre cualquier par de alternativas, entonces una SWF que satisface las condiciones U, I y P, implica que J debe ser un dictador'.

Supongamos que la persona J es . Sea la alternativa restante y refiérase a todos los individuos distintos de J. Asumamos la siguiente configuración de preferencias:

J: ; J es

Resto: ; . No se supone nada acerca de la relación entre el par .

•  Como J es , entonces

•  Por la condición P,

•  Por ser una SWF debe ser transitiva, por ende , tal como indican las preferencias de J, independientemente de las preferencias del resto sobre el par . Este resultado surge únicamente de las preferencias de J. Si las preferencias que se supusieron del resto tiene alguna injerencia en el resultado respecto del par , entonces claramente se viola la condición I. Por ende, [1]

Ahora supongamos que las preferencias son las siguientes:

J: ; J es

Resto: ; . No se supone nada acerca de la relación entre el par .

•  Como J es , entonces

•  Por la condición P,

•  Por ser una SWF debe ser transitiva, por ende , tal como indican las preferencias de J, independientemente de las preferencias del resto sobre el par . Este resultado surge únicamente de las preferencias de J. Si las preferencias que se supusieron del resto tiene alguna injerencia en el resultado respecto del par , entonces claramente se viola la condición I. Por ende, [2]

Si intercambiamos y en el razonamiento que nos llevo a [2], tenemos que:

J: ; J es

Resto: ; . No se supone nada acerca de la relación entre el par .

•  Como J es , entonces

•  Por la condición P,

•  Por ser una SWF debe ser transitiva, por ende , tal como indican las preferencias de J, independientemente de las preferencias del resto sobre el par . Este resultado surge únicamente de las preferencias de J. Si las preferencias que se supusieron del resto tiene alguna injerencia en el resultado respecto del par , entonces claramente se viola la condición I. Por ende, [3]

Si colocamos a en lugar de , a en lugar de , y a en lugar de , en el razonamiento que nos llevo a [1], tenemos que:

J: ; J es

Resto: ; . No se supone nada acerca de la relación entre el par .

•  Como J es , entonces

•  Por la condición P,

•  Por ser una SWF debe ser transitiva, por ende , tal como indican las preferencias de J, independientemente de las preferencias del resto sobre el par . Este resultado surge únicamente de las preferencias de J. Si las preferencias que se supusieron del resto tiene alguna injerencia en el resultado respecto del par , entonces claramente se viola la condición I. Por ende, [4]

Ahora bien, tenemos que:

por [1]

por definición.

por [3]

por definición.

por [4]

Entonces tenemos que [5] y también tenemos que [5*]

Al intercambiar por en las ecuaciones [1], [2] y [5] (nótese que las tres ecuaciones que parten de ) se obtiene:

[6]

Ahora bien, tenemos que:

por [5]

por definición.

por [6]

Por lo tanto tenemos que [7]

Al observar las ecuaciones [5*] y [7] se observa que implica que el individuo J es decisivo para cada par de alternativas (seis en total) del conjunto de alternativas si se cumplen las condiciones U, I y P. Por lo tanto J es un dictador, ya que el ser decisivo para todo par es justamente la definición de dictador. Se puede demostrar que el resultado se mantiene para un número mayor de alternativas.

Entrando ya en la segunda parte de la demostración, se establece que para todo par de alternativas siempre hay algún conjunto decisivo, ya sea el conjunto de todas las personas en vistas de la condición P. Por ende, para todo par de alternativas también existe algún conjunto semi-decisivo, ya que el conjunto decisivo es también semi-decisivo. Para el caso de unanimidad, el conjunto semi-decisivo está vacío, y ésto no representa ningún problema para el análisis que se efectuará. De todos los conjuntos semi-decisivos para todos los pares de alternativas, selecciónese el conjunto (o los conjuntos) de menor tamaño. Llámese a éste conjunto , y supongamos que es semi-decisivo para sobre , o sea . Si contiene sólo un individuo, no hay más que remitirse a la primera parte de la demostración para probar que existe un dictador. Si contiene dos o más individuos, podemos dividir a dicho conjunto en dos partes, que contiene a un individuo, y que contiene al resto de . Todos los individuos que no pertenecen a forman el conjunto .

Dada la condición U se pueden suponer cualquier combinación de preferencias individuales. Seleccionemos la siguiente:

:

:

:

Como es , se debe tener que socialmente . Respecto al par , solo los individuos en prefieren la opción , y el resto prefiere la opción , por lo tanto si resultara que socialmente , entonces debe ser un conjunto semi-decisivo sobre ése par especifico. Pero he aquí la contradicción: fue seleccionado como el conjunto semi-decisivo más pequeño existente, pero es aún más pequeño que al ser un subconjunto de éste último. Por lo tanto, , y debido al requisito de completitud se deduce que . Pero si tenemos que por transitividad. Pero solo el individuo en prefiere por sobre . El resto de la gente prefiere a por sobre . Por ende un sólo individuo resulta ser semi-decisivo, volviendo a surgir la contradicción con la suposición inicial. De resultar que un individuo es semi-decisivo se deriva lógicamente, como ya ha sido demostrado, que es un dictador.

El resultado del teorema de Arrow es ciertamente perturbador: no puede lograrse una CCR que cumpla con las condiciones O, U, P, I y D, ya que existirá por lo menos algún caso (recordar el significado de la condición U) en el que haya inconsistencias entre las condiciones O, P, I, y D. Varias interpretaciones y comentarios tanto positivos como negativos ha suscitado el célebre teorema.

Esta SWF (Social Welfare Function) es distinta de la Social Welfare Function de Bergson-Samuelson (swf) debido a que esta última es la representación numérica de la primera, que es solamente una CCR que especifica un ordenamiento. La primera determina a la segunda.